外尔

东邪柯尔莫哥洛夫 流体江湖风云录

作者:工程事 / 关注公众号:gctechshow  发布:2018-11-09

“桃花影落飞神剑,碧海潮生按玉箫。”东邪黄药师,天下五绝之一,武功超凡脱俗,已臻化境。他聪明绝顶,博览群书,兼学百家,志趣深远。上通天文,下知地理,五行八卦,奇门遁甲,琴棋书画,医卜命相,术数纵横,乃至农田水利,经济兵略等亦无一不晓,无一不精。他薄汤武,非周孔,漠视礼法却珍视大节,恃才傲物却难掩温情。他独居东海孤岛,不问世事,快意潇洒,却在南宋江山岌岌可危之际,义助襄阳,主持战局。此等人物,虽有沽名之嫌,迁怒之过,仍不得不为我辈所神往也。
而在流体力学发展的长河中,也曾有过这样一位全才大师,以神来之笔在现代湍流发展史上写下了浓墨重彩的一章。此人之才情,比之黄老邪有过之而无不及。他便是苏联数学大师安德雷•柯尔莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov),柯老邪是也。

安德雷•柯尔莫哥洛夫 (1903-1987)
老邪二字,或有调侃,绝无不敬。
柯老邪在数学上的造诣,当世只有亨利•庞加莱(Jules Henri Poincaré),大卫•希尔伯特(David Hilbert),约翰•冯•诺依曼(John von Neuman)等寥寥数人可与比肩。而其研究之精深,领域之广博,构思之绝妙,或无一人可出其右。他理论与应用双修,学识纷繁庞杂,遍及概率论,实分析,泛函分析,拓扑学,构造性逻辑学,算法信息论,湍流,经典力学,动力系统,遗传学,气象学,弹道学,金属结晶学等领域,凡有涉足,必有所创,其中不乏众多奠基性的成果。更兼他文理皆通,对历史,哲学,语言学,俄国诗歌韵律学等诸多学科都有着系统的研究和独特的见解。作为战斗民族的一员,他甚至在体魄和运动上也天赋过人—曾完成40公里着短裤越野滑雪的壮举。

柯尔莫哥洛夫远足于高加索山
柯老邪平生所学,实在浩如烟海,比之黄老邪亦不遑多让。而其作风品性,更为难能可贵。柯老邪行事,坚毅果决,挥毫洒脱。虽无黄老邪之怪诞乖张,却存魏晋之遗风,携汉唐之豪侠,具田园之逸气。在斯大林的高压治下,他醉心学术,潜心教育,不问党政。而当德军兵临城下,存亡危机之时,他毅然转入弹道学及火炮自动控制的统计学研究,使万千苏联军民受益良多。在对外交流封闭的岁月里,他与众弟子啸聚东方苏俄,鼎足美欧学派,基础研究带来的工业腾飞让西方不敢小觑,世人为之动容。而当他的著述最终为西方所了解之后,众学派纷纷为之震惊。1963年在第比利斯召开的概率统计会议上,来自美国的统计学家雅各布•沃尔夫维茨(Jacob Wolfowitz)甚至发出这样的疑问:“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人,还是一个研究机构。”
柯老邪之成就,实难备述,而在湍流上的贡献,也的确只算得上冰山一隅。如果我们只谈湍流,未免显得格局狭小,且不妨从柯老邪的少年轶事说起吧。
1声名鹊起
柯老邪1903年出生于莫斯科东南的小镇坦波夫。尽管他的数学天赋从童年时便显露无遗,但他却一直对俄国历史颇为着迷。自1920年入莫斯科大学以来,他除了研习数学,还积极参与到历史学教授巴克卢辛•维拉蒂米洛维奇(Bakhrushin Vladimirovich)所组织的历史学研讨会当中。很快,柯老邪便完成了人生中第一篇历史学论文,并将其交给了巴克卢辛。此文以“15世纪诺夫哥洛德地区的财产管理(The landholding in the Novgorod in the 15th century)”为题,开创性地将数学统计的方法引入到了历史学研究中。巴克卢辛读后连连称奇,但从其历史学究的角度,他说出了如下论断:
"你为你的论文提供了一种证明,在你所研究的数学上这也许足够了,但我们历史学家则需要至少十种证明。(You have supplied one proof of your thesis, and in the mathematics that you study this would perhaps suffice, but we historians prefer to have at least ten proofs.)”
柯老邪少年意气,岂容他人置喙。正如他自己所说,“我从此决定进入科学领域,一个证明足以得到最终结论。(I have decided to go into science, in which for a final conclusion one proof is sufficient.)” 历史学界或许因此失去了一位天才学者,但数学界却得到了这位震古烁今的全才大师。
在柯老邪之后成就斐然的人生中,他数次对自己未能在历史学上有所建树深表遗憾,但事实却并非如此。在他辞世一年之后,俄国著名历史学家瓦伦丁•亚宁(Valentin Yanin)从柯老邪的手稿中发掘出了这篇关于俄国中世纪历史的遗世之作。直至此时,这篇将统计方法应用于这一历史领域的开先河之作才得到历史学界的重视。亚宁教授在评述中写道:“作为其研究方法的基础,作者提出了概率理论的应用,这一方法从未被运用到诺夫哥洛德地区财产注册的研究上,而且直至今日也未被广泛采纳。历史学界的这一遗憾正是源于学者们对柯尔莫哥洛夫七十年前这篇论文的忽视。(As a basis for the method, the author put forward the theory of probability, which had not been applied to Novgorod land-registers before and is unfortunately not so applied now due to the ignorance of researchers on the subject of Kolmogorov's work of almost seventy years ago.)” 在亚宁教授的主持下,柯老邪的这篇文章也在三年后正式发表,终成经典。
在此等神迹面前我们只能望洋兴叹。皓月之光,岂萤火所能争辉?
让我们把时间轴退回到1929年。时光如梭,柯老邪在莫斯科大学已历十年寒暑。他师从数学分析学大师尼古拉•卢津(Nikolai Luzin),尽得其所传。他根基深厚又兴趣广博,循序渐进又触类旁通。值此艺成毕业之际,柯老邪任督二脉豁然贯通,已隐隐显出一代宗师之风范。
此时的苏联,尽管斯大林的独裁统治已初见端倪,但与西欧的关系还未向后来那般剑拔弩张。柯老邪也得以在1930年访学德法。在哥廷根与巴黎高师的校园里,柯老邪与理查德•库伦(Richard Courant)研讨极限理论,与赫尔曼• 外尔(Hermann Weyl)论道构造逻辑,与亨利•勒贝格(Henri Lebesgue)切磋积分分析。一年之间,柯老邪功力日盛,学贯东西,已渐入无往不利之境界。闲暇时,他徜徉于巴黎塞纳河畔,流连于阿尔卑斯山间,仰望浮云,俯视流水,在阳光的沐浴下继续着对数学理论的思考。
量子论说:世间万物是概率性的。柯老邪与自然的亲密接触或许也促成了他对于概率理论的思考。从中世纪开始,以欧洲职业赌徒为契机,概率论的研究逐渐开始被数学界所关注。几个世纪以来,包括高斯,拉普拉斯,伯努利等数位大师为其添枝加叶,陆续注入着新鲜的血液。然而,由于概率论尚未形成一个理论上的公理体系,这些零星的火种犹如无本之木;贝朗特悖论横行一时,概率论也始终徘徊在主流数学殿堂之外。
1931年,柯老邪返回苏联,受聘莫斯科大学教授。在之后的两年里,他对概率论理解日深,终于悟出以测度为基础的严格公理体系。他以“概率论基础 (Foundations of the Theory of Probability)”为题著书立说,一经问世便得到天下公认,为现代概率论的发展打下了坚实的基础。

“概率论基础”1956年英译版
柯老邪之于概率论,正如牛顿之于经典力学,三丰之于太极神功,承先启后,继往开来。
在柯老邪的书中,他对一个随机过程x(t)进行了严格定义和系统研究,并将其推广到t为多维变量时的随机场情况。数学理论既已完备,为其寻找物理应用便成为了柯老邪新的目标。如果说对于随机过程的应用带来了柯老邪在布朗运动上的深刻理解,那么湍流场则是随机场理论练兵的不二之选,而这也正是柯老邪进军湍流领域的初衷。
2未解之谜
湍者,急且乱也。
自从奥斯鲍恩•雷诺(Osborne Reynolds)于1883年在管流实验中观察到湍流(请参见索末菲学派那些事儿上部)以来,众多数学物理大师开始试图从理论上理解这种现象背后的规律。然而,湍流犹如物理界的一座坚城壁垒,任众学派船坚炮利,亦无法动其根基。洛伦兹,索末菲折戟沉沙,海森堡,冯诺依曼举步维艰。直至今日,湍流的理论体系仍尚未完成,正如美国著名物理学家理查德•费曼(Richard Feynman)所说:湍流,是“经典物理最后的未解之谜(the most important unsolved problem of classical physics)”。

理查德•费曼 (1918-1988)
然而,雷诺的实验结果是如此的无可辩驳,湍流现象也在自然界中随处可见。或管道流动,或物体绕流,或凭虚御风,或潮起浪涌,或星沉轨动,湍流无处不在地雕刻着自己的印记。在这些错综复杂,涡旋丛生的流场中,流体质点的运动犹如鬼魅,它们无迹可循,不可预测,无法重复,牵一发而动全身。在这些看似杂乱无章的运动的背后,是否存在一些普遍适用的物理规律?这正是湍流研究的核心问题。

湍流问题的本质是物理的,也是数学的。众学派始终相信,湍流的解答可以从流体力学基本方程纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equation)中找到。如果一位数学天才可以找到此方程在任意边界条件下的解析解,湍流问题或许会迎刃而解。然而时至今日,纳维-斯托克斯方程解析解的相关问题仍然作为克雷数学研究所的七大千禧年问题之一悬而未决。
此路不通,众学派只能另觅他径。由于流场中单个质点运动的不确定性,所谓的普适物理规律只能从概率统计学意义上来寻找。柯老邪显然也很早便认识到了这一点。在他1985年出版的专著“数学与力学(Mathematics and Mechanics)”中,柯老邪回忆道:“我在三十年代后期兴趣转入了液体与气体的湍流研究。从研究伊始我便意识到此领域的主要数学工具是有多个变量的随机函数(即随机场)理论,而这在当时也刚刚被建立起来。(I took an interest in the study of turbulent flows of liquids and gases in the late thirties. It was clear to me from the very beginning that the main mathematical instrument in this study must be the theory of random functions of several variables (random fields) which had only then originated.)”
随机场,这正是概率理论的用武之地。而此时的柯老邪,在概率论上的造诣已独步天下,不做第二人想。
3大厦之基
如果说1905年是爱因斯坦奇迹年,那么1941年则称得上湍流史上的柯老邪奇迹年。这一年,柯老邪连续发表三篇论文,一举奠定了其流体力学界一代宗师的地位。这三篇文章对于湍流物理规律的阐述,在江湖获封“K41理论”之美誉。它们是柯老邪与其弟子数年之功的总结,也是湍流研究史上人类所取得的最辉煌的成就。
在具体介绍K41理论之前,我们需要先引入“尺度”这一概念。尺度者,大小、长短之衡量也,“鲲之大,不知其几千里也”,鲲的空间尺度为几千里;“朝菌不知晦朔,蟪蛄不知春秋”,朝菌与蟪蛄的时间尺度,则分别小于一月和一年。
而湍流,是一个具有多尺度结构的系统。从流场中涡旋的角度而论,湍流可看做是很多不同尺度涡结构的相互作用。以大气湍流为例,其涡结构尺度范围可从几毫米延伸至几千米,可谓“大涡可通天级,小涡仅在毫厘”。

►湍流射流中的涡旋结构
K41理论认为,无论一个湍流系统如何复杂,其涡旋结构都有着相似性,即涡的动能总是由外力作用施加给流场,并注入最大尺度(假设为L)的涡结构。然后,大尺度涡结构逐次瓦解并产生小型涡旋,同时也将动能由大尺度逐级传向小尺度结构,并依此类推。但此过程并不会无限进行下去,当涡结构尺度足够小(假设为η)时,流体粘性将占据主导地位,动能转化为内能在该尺度上耗散掉,继而不会继续传向更小尺度的涡结构。这个过程,被称为能级串过程。

►湍流射流中的涡旋结构

►K41之能级串过程
我们试举一例将其具体化。假设有一个长度尺度为L的水桶,我们手持搅拌器在同样的尺度L上对桶里的水进行搅拌。不难想象,桶中会出现尺度为L的最大涡旋结构。
随着时间的推移,桶中的涡结构尺度层次会变得更为丰富,不断有更小的涡产生。此时,系统将达到一种动态能量守衡:动能由搅拌器在大尺度L上施加给系统,系统中的动能由尺度为L的大涡一级级传向小涡结构,最终由于粘性耗散在最小尺度的涡结构里。整个系统力作而兴,力息而竭。如果我们撤去搅拌器的外力,桶中的涡旋结构将会慢慢衰减,直至被粘性消耗殆尽。

►在水桶中搅拌并产生涡旋示意图图(片来源:physics today, 2006)
正所谓,大涡生小涡,小涡生小小涡,而子子孙孙有穷尽也。
如果柯老邪的发现仅仅是这样一个有着些许诗意的湍流物理模型,K41理论的江湖地位难免会大打折扣。事实上,K41理论之所以成为湍流界的至尊,是由于其在物理模型之上引入了对于湍流的定量描述。而数学,是描述自然规律唯一有效的语言。
由于人类在纳维-斯托克斯方程面前的无力,引入数学描述并非易事。为此,柯老邪以其深刻的物理直觉引入了一个大胆的假设,将整个问题抽丝剥茧,直至其本质完全暴露,再辅以初等数学的量纲分析便得到了描述湍流场涡结构动能的最有效的一个公式:
S2(l)=Cε2/3l2/3
式中,l为湍流场中两点间距离,ε为由大尺度向小尺度的动能传递率,亦等同于小尺度动能耗散率,C为无量纲的柯尔莫哥洛夫常数。S2(l) 为二阶结构函数,其定义为S2(l)=〈δu(l)2〉,即湍流场中相距为l两点间速度差δu(l)平方的(空间或时间)平均值。此结构函数乃柯老邪独创之统计量,它度量了尺度小于等于l的所有涡结构之动能。
此公式为K41理论的最核心部分,被称为“柯尔莫哥洛夫之2/3标度律”。正如许多伟大的物理公式一样,柯老邪的2/3律形式优美,结构简单。而在这令人为之倾倒的美感背后,却隐藏着非凡的物理含义。
原来,湍流场中不同尺度l上的涡结构动能并非任意分布,而是要服从l2/3的幂函数形式。因此,涡动能从大尺度到小尺度以幂函数形式衰减。而由于柯老邪引入的假设,2/3律只在一定尺度范围η<<l<<L内成立。在此范围内,大尺度L的外力作用和小尺度η的粘性耗散均无影响,每个涡结构仅是一个动能传递的节点,其所见只是动能从大尺度传来,通过自己向小尺度传出。
所谓实践是检验真理的唯一标准,在柯老邪如此天马行空的物理假设下,K41理论的正确与否似乎只能通过物理实验来检验。这也的确成为了K41理论问世之后各学派争相实验的主题。这些实验尺度大小有别,流动形态各异,而万变中的不变却是所测得的湍流2/3标度律 – 柯老邪公式中 2/3这个数字被无数实验所证实。其中最惊人的当属卡尔•吉布森(Carl Gibson)教授1991年所测得的星系湍流,其结构函数在近十个数量级的尺度范围内与湍流标度律相符。柯老邪一念之力,竟至于斯。
4“武林交通部”

为了更清晰地展示柯老邪鬼斧神工般的K41理论,我们试以“武林交通部”系统(如下图)与湍流场做一类比。某日,武林交通部高层人士通过了“二十三省江湖人士不得闯黄灯”的江湖禁令,并将其下达至省交通厅;各省交通厅将此禁令分解为“各市江湖人士不得闯黄灯”并继续向下级传递;依此类推,这条禁令又经过市,区两级交通局分解并最终传达至各地江湖人士。在此例中,武林交通部是系统中最大尺度L的涡结构,省市区各级交通单位是稍小尺度的涡结构,而各地江湖人士是最小尺度η的涡结构。江湖禁令的传递则类比湍流场中的动能传递。
为加强宣传力度,武林交通部三令五申,不厌其烦地将此江湖禁令传达给下级机构。而随着各级交通部门的传递,这条江湖禁令也三番五次地传到各地江湖人士耳中。江湖人士们不胜其扰,只得听而不闻,任消息随风消散。在这段描述中,武林交通部的三令五申相当于大尺度涡为湍流系统提供的源源不断的动能,而消息的随风消散则相当于小尺度涡动能的粘性耗散。
在任意交通部门中,其所接受和传出的信息量相等。例如,山东省交通厅所接受的信息为“山东省江湖人士不得闯黄灯”,而其分解后传出的信息为“烟台市江湖人士不得闯黄灯”,“青岛市江湖人士不得闯黄灯”,等等。此两者均作用于山东省每一名江湖人士,因此其信息量相等。而对于整个交通系统而言,每一级之间所传递的信息均作用于所有江湖人士,因而各级间传递的信息总量亦相同。这时的信息传递效率,即单位时间内各级间的信息传递量,对应于柯老邪公式中的ε。如果各级间ε不同,会造成整个系统效率低下,信息阻滞。
为保政令畅通,省市区三级交通部门积极进行机构整改,剔除冥顽不灵者,招纳顺应时势者,最终形成了交通部门的最优机构配置。在这个最优配置中,各级交通部门只知自己有上级下级,并将上一级下达的禁令如实传递给下一级,而并不知道自己位于整个系统中的哪一级。在这个各司其职的系统中,禁令的传递效率ε在每级达到一致,毫无阻滞的从武林交通部直达每个江湖人士。此时各级机构的最优配置正对应着柯老邪描述涡结构动能在不同尺度上分布的2/3律,即S2~l2/3。
此例中的描述,或有牵强之处,但以社会系统印证柯老邪的K41理论,却也无伤大雅。
而令人咋舌的是,在K41理论问世之前的一些艺术作品中,也有着2/3律的影子。其中最有名的当属1889年文森特•梵高(Vincent Van Gogh)在其精神错乱期间留下的旷世名作“星夜”(The Starry Night)。画中的光影星云结构被认为是湍流涡结构很好的诠释。最近的研究则有着更为惊人的发现:如果将画中每一像素点的亮度看作是湍流场中速度大小的话,由此画所计算出的结构函数与柯老邪的2/3律有着近乎完美的相符。
这一惊人的巧合,究竟仅是过分解读,还是意味着人类精神失控时思维之湍流与自然界之湍流有着内在的联系,笔者也难以断言。这个谜题或许要留待后世来解开了。

►文森特•梵高的“星夜”(1889)
如果说柯老邪的概率论是集大成之作,其K41理论则可称得上湍流结构理论之滥觞。涓涓细流,终成巨澜滔滔。
在后世的湍流研究中,对于K41理论应用所取得的硕果璀璨绚丽,许多看似无从下手的问题由于K41理论的引入迎刃而解。柯老邪的莫斯科学派也从1946年开始组织两周一次的研讨会,精研K41理论在具体湍流体系中的运用。从这里走出的柯老邪在湍流界的四大弟子,亚历山大•奥布霍夫(Alexander Obukhov),米哈伊尔•米林斯奇科夫(Mikhail Millionshchikov),安德雷•莫宁(Andrei Monin)与阿奇瓦•亚格洛姆(Akiva Yaglom)将于日后在各自的领域内独领风骚。其中的奥布霍夫与莫宁分别接管和领导了苏联在大气湍流与海洋湍流上的研究。欣喜之余,柯老邪豪言道:“我的一名弟子统御地球大气,而另一名弟子管辖四方海域。”(One of my students rules the Earth atmosphere, another – the oceans.)
天下武功纷繁庞杂,而以内御外方为修行之正途。K41理论正如湍流界的九阴真经,它从内在上试探着湍流的根基,撩拨着湍流的心弦。如果说时至今日的湍流结构研究已渐成一座大厦,那么K41理论正是这座大厦的地基。尽管它之后还将经历一番波折,但它必定永载史册,千年不朽。
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本文作者 :工程事

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