论题

对一道数论题的再思考

作者:数学文化传播 / 关注公众号:jsxzmo  发布:2019-10-01

【题目】
(第17届五羊杯竞赛题)设2005=c[1]*(3^a[1])+c[2]*(3^a[2])+***+c[n]*(3^a[n]),其中n为正整数,a[1,]a[2],***,a[n]为互不相等的自然(包括0,约定(3^0)=1),c[1,]c[2],***,c[n]中的每一个都等于1或-1,那么a[1]+a[2]+***+a[n]=
【分析与解】
由题意,可视c[1,]c[2],***,c[n]为代数式中每一项的符号。
不妨假设a[1]<a[2]<***<a[n]。若a[1]≥1,则c[1]*(3^a[1])+c[2]*(3^a[2])+***+c[n]*(3^a[n])必为3的倍数,而2005不是3的倍数(除以3余1),从而,a[1]=0,c[1]=1,c[2]*(3^a[2])+***+c[n]*(3^a[n])=2004;3(c[2]*(3^a[2]-1)+***+c[n]*(3^a[n]-1))=3×668,c[2]*(3^a[2]-1)+***+c[n]*(3^a[n]-1)=668;
若a[2]≥2,a[2]-1≥1,则c[2]*(3^a[2]-1)+***+c[n]*(3^a[n]-1)为3的倍数,而668不是3的倍数,(除以3余2,或者视为余-1),从而,a[2]-1=0,a[2]=1,c[2]=-1;
依次类推,c[3]*(3^a[3]-2)+***+c[n]*(3^a[n]-2)=223,a[3]-2=0,a[3]=2,c[3]=1;
c[4]*(3^a[4]-3)+***+c[n]*(3^a[n]-3)=74,a[4]-3=0,a[4]=3,c[4]=-1;
c[5]*(3^a[5]-4)+***+c[n]*(3^a[n]-4)=25,a[5]-4=0,a[5]=4,c[5]=1;
c[6]*(3^a[6]-5)+***+c[n]*(3^a[n]-5)=8,a[6]-5=0,a[6]=5,c[6]=-1;
c[7]*(3^a[7]-6)+***+c[n]*(3^a[n]-6)=3,a[7]-6=1,a[7]=7,c[7]=1;
从而,a[1]+a[2]+***+a[7]=22.
【进一步思考】:此题层层剥洋葱解到这里,需要仔细思考,弄清原理。联想到用2005不断除以3取余,余数1或2,均可以通过c[n](+号或-号)和3^a[n](当a[n]=0时,3^a[n]=1)进行调整,这个与进位制的转化有类似之处。反观本题结果,更进一步验证了这个直觉。因此,我们有了如下方法。
3|20051
3|668 -1
3|223 1
3|74 -1
3|25 1
3|8 -1
3|3 0
1
从而,2005=[10(-1)1(-1)1(-1)1][3]
=1*3^7+0*3^6-1*3^5+1*3^4-1*3^3+1*3^2-1*3^1+1*3^0.即a[1]+a[2]+***+a[7]=22


本文作者 :数学文化传播

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